写在前面：

延迟开学的日子，是自我调整的日子，是弯道超车的日子，是探索属于自己的学习方式的日子。居家学习更需要同学们安排好学习时间，提高自主学习的效率，宁愿一时受冷蹲在屋顶蹭网，不贪小小温暖躲在被窝打卡。居家学习的二轮复习阶段要注意以下几个方面。

作者：张培强，徐州一中高三年级数学教研组长

一、制定二轮微专题复习计划。根据学校网课的安排，以及自身的学习情况，制定适切的二轮微专题复习计划，将自己的弱项纳入到计划中，每天都要通过训练与反思对弱项问题进一步强化提升，严格执行复习计划，提高时间效益。

二、提高上网课的效率。及时完成老师布置的任务，标记疑难，做好提问的准备。上网课的时候跟上老师或发言同学的思路进行思考，积极参与课堂的互动，及时有重点的做好笔记，整理解答过程。

三、坚持每天的基础训练。操千曲而后晓声，观千剑而后识器。从现在到高考，都要坚持基础题的熟手训练。根据老师布置的基础训练，结合自己手里的材料，做到每天进行一次基础训练。

四、继续强化中档题的训练。每天安排一次中档题训练，包括填空题中的第10-13题，解答题中的第17-18题，理科再加上第22题，及时按高考评分要求批改、订正、反思，总结方法，积累经验，提升能力。

五、整理错题做好反思。题海无边，反思才能帮你到岸。及时整理错题，反思错因，优化方法，积累经验。对于自己的高频易错点，可以将做过的类似题翻出来再做、再反思，以达到解一题，通一类之效。

六、深化对题目的研究。数学家哈尔莫斯说过：问题是数学的心脏。数学家波利亚说过：掌握数学就是意味着善于解题。学数学，归根结底在于对题目的研究。在常规的解题训练之外，每天可以安排一道题目的深入解决，将你的探索历程记录在一个专门的本子上。

关于解题，在数学的江湖中流传着“五重境界”说：

第一层境界：正确解题

兵来将挡，水来土掩，见招拆招。很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界。

第二层境界：一题多解

多点开花，条条大道通罗马；似倚天剑轻灵无双，剑招千变万化，虚实相间，谁与争锋。我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题。一道题目做完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单。对于最后的结果，是不是可以有其它的合理解释。

第三层境界：多题一解

以静制动，以不变应万变，一招制敌；似玄铁神器，重剑无锋，却刚猛异常，一剑挥下，纵它千百变，亦必摧之。完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或者把其中的数字换成字母，或者把一些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目。

第四层境界：发现定理

无招胜有招，渐成大家；至此境界，草木皆为利刃，随心所欲，敌未动，已毙于无形。到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。这些结论、定理规律都是解题的有用工具。解题高手都有自己的定理库。

第五层境界：自己编题

自成一派，独孤求败；高处不胜寒，自己跟自己玩解题的最高境界是能够编题。不是所有的人都具备编题的能力。解题高手拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。即便出题者粗心出现了一个错误，他也能够很快地纠正纠偏。

同学们，你可以先自我判断一下，你现在在那一层呢？

下面，以一道题目为例，与同学们一块经历这五重境界：

例．已知正数x，y满足x＋y＝3，则

的最小值为________．这样一类多元最值问题，我们见过几十遍了，是考查基本不等式的常见题型。

第一层境界：正确解题相信多数同学都已经达到了，不必多言。

第二层境界：一题多解这一层，相信很多同学也都能娓娓道来。首先，可以采取消元的方式，得到一元的分式和（如

），之后考虑导数求最值、通分后使用基本不等式等均可；其次，采用“1”的代换，将待求乘上

（也就是1），展开后使用基本不等式即可。（关于这类问题的解决，如果你还有疑问，可以扫码回看市彭城课堂的微课：基本不等式的基本模型）

第三层境界：多题一解

到这一层，我们要把题目进行归类提炼。这类题目无非是已知两个变元的和求倒数和的最小值，或已知两个变元的倒数和求和的最小值，即下面两个题型：题型1：由△＋□＝6，求

的最小值；题型2：由

，求△＋□的最小值。

第四层境界：发现定理

过了第三层，你能熟练将题目题型化、套路化了，这可以助你解决高考中的大部分题目。接着，你要思考的是：还能再优化一下，再省劲一点吗？我们不妨把“1”的代换过程变一下形，得到

（常数），再尝试一般化，就可以得到：

（常数），最小值就直接出来了（这其实就是盛于数学江湖的权方和不等式）。

第五层境界：自己编题

解题，要经历“见山是山，见山不是山，见山又是山”的参悟过程。就如同“1”的代换，1非1，实为形式非1而实质是1，1还是1。那么“△”、“□”是什么？是x，是x＋2，也是sin x，

如此，题目就源源不断地来了。

同学们，你Get到了吗？

数学家波利亚指出：“好问题同某种蘑菇，有些相像，它们成堆地生长，找到一个以后，你就应当在周围找一找，很可能附近就有好几个。”问题解决只是解题的第一步，之后，从解决的问题出发，运用类比、联想、特殊化、一般化等思维方法，创编派生出一些常规问题和开放性问题，使得问题“成片开发”，提升素养。或许，在不久的高考考场中，你会见到你自己编的题。